Kesirli Diferensiyel Denklemlerle Finansal Problemlerin Matematiksel Analizi ve Çözüm Yöntemleri

Authors : Engin Can

Pages : 56-67

Doi:10.58767/joinbat.1601559

View : 82 | Download : 53

Publication Date : 2025-06-22

Article Type : Review Paper

Abstract :Finansal problemlerin analizi ve çözümü, geleneksel matematiksel yöntemlerin sınırlarını zorlayan karmaşıklıklar içerir. Özellikle finansal piyasalarda gözlemlenen volatilite, bellek etkileri ve uzun vadeli bağımlılıklar gibi özellikler, klasik diferansiyel denklemlerle modellemede yetersiz kalabilir. Bu bağlamda, fraksiyonel diferansiyel denklemler (FDD), finansal matematikte yenilikçi bir yaklaşım sunarak bu tür karmaşık süreçleri daha etkili bir şekilde temsil etme potansiyeline sahiptir. Fraksiyonel matematik, türev ve integral işlemlerinin tam sayı olmayan dereceleriyle çalışarak, anomalik yayılma süreçlerini ve bellek etkilerini modelleme imkanı sağlar. Bu özellikler, finansal sistemlerdeki uzun vadeli bağımlılıkları, geçmiş olayların mevcut durumlara etkisini ve piyasaların fraktal doğasını daha doğru bir şekilde açıklamak için güçlü bir araç sunar. Bu makalede, fraksiyonel diferansiyel denklemlerin teorik temelleri ele alınarak, bu denklemlerin finansal problemlerdeki uygulanabilirliği detaylı bir şekilde incelenmiştir. Özellikle volatilite analizi, opsiyon fiyatlandırma, risk yönetimi ve portföy optimizasyonu gibi temel finansal alanlarda fraksiyonel modellerin sunduğu avantajlar tartışılmıştır. Geleneksel Black-Scholes modelinin fraksiyonel versiyonu gibi spesifik uygulamalar, piyasaların daha gerçekçi bir şekilde modellenmesini mümkün kılarak bu yöntemlerin potansiyelini göstermektedir. Ayrıca, finansal verilerin fraksiyonel zaman serisi analizine tabi tutulması, uzun vadeli bellek etkilerinin ve anomalik piyasa davranışlarının daha iyi anlaşılmasını sağlamaktadır. Makale aynı zamanda, fraksiyonel denklemlerin çözümünde kullanılan analitik ve numerik yöntemlere de ışık tutmaktadır. Sonlu fark yöntemleri, spectral yaklaşımlar ve Grünwald-Letnikov tekniği gibi nümerik yöntemler, fraksiyonel denklemlerin çözümünde kritik bir rol oynar. Bunun yanı sıra, yapay zeka destekli algoritmaların, finansal verilerden öğrenerek daha etkili çözümler sunma potansiyeline sahip olduğu vurgulanmıştır. Ancak, fraksiyonel diferansiyel denklemlerin çözümünde karşılaşılan zorluklar ve yüksek hesaplama maliyetleri, bu alanda daha fazla çalışmaya ihtiyaç duyulduğunu göstermektedir. Sonuç olarak, fraksiyonel diferansiyel denklemler, finansal problemlerin matematiksel çözümünde yeni ufuklar açmaktadır. Gelecekte, daha gelişmiş hesaplama yöntemlerinin ve veri odaklı yaklaşımların entegrasyonu ile bu modellerin finansal matematikteki rolü daha da artacaktır. Bu çalışma, fraksiyonel denklemlerle finansal problemlerin çözümüne yönelik teorik bir temel sunmanın yanı sıra, uygulama ve araştırma alanlarında ilham verici bir rehber olmayı amaçlamaktadır.
Keywords : Fraksiyonel diferansiyel denklemler, finansal matematik, matematiksel modelleme, numerik yöntemler, volatilite analizi

ORIGINAL ARTICLE URL